LOGARITMA DAN SIFATNYA

Untuk memahami sifat-sifat logaritma, cara pembuktian sifat atau rumus logaritma serta contoh soal yang berkaitan dengan sifat-sifat operasi hitung logaritma, silahkan kalian pelajari uraian artikel berikut ini.

Bentuk Umum Logaritma

ax = b

↔

x = alog b

Dengan  syarat b > 0, a > 0 dan a ≠ 1

Keterangan:

=a

bilangan pokok atau basis logaritma

=b

numerus, yaitu bilangan yang akan dicari nilai logaritmanya

=x

hasil logaritma, dapat positif, nol atau bahkan negatif.

Rumus Identitas Logaritma

1

alog an

= n

2

alog a

= 1

3

alog 1

= 0

Pembuktian ketiga rumus identitas logaritma di atas adalah sebagai berikut

1

alog an = n → an = an

2

alog a = 1 → a1 = a

3

alog 1 = 0 → a0 = 1

Macam-Macam Sifat Logaritma dan Rumusnya

#Sifat 1 (Perkalian Logaritma)

alog (b × c) = alog b + alog c

Pembuktian sifat 1 logaritma

Misalkan

alog b = n maka an = b

alog c = m maka am = c

b × c = an × am

dengan menggunakan sifat operasi hitung berpangkat,  maka diperoleh

b × c = an + m sehingga

alog (b × c) = n + m, karena n = alog b dan m = alog c maka

alog (b × c) = alog b + alog c

Contoh Soal

Sederhanakanlah:

2log 4 + 2log 85log ½ + 5log 50

Jawab

2log 4 + 2log 8 = 2log (4 × 8) = 2log 32 = 55log ½ + 5log 50 = 5log (½ × 50) = 5log 25 = 2

#Sifat 2 (Pembagian Logaritma)

alog (b/c) = alog b − alog c

Pembuktian sifat 2 logaritma

Misalkan

alog b = n maka an = b

alog c = m maka am = c

b/c = an /am

dengan menggunakan sifat operasi hitung bilangan berpangkat diperoleh

b/c = an − m sehingga

alog (b/c) = n − m, karena n = alog b dan m = alog c maka

alog (b/c) = alog b − alog c

Contoh Soal

Sederhanakanlah:

7log 217 − 7log 31log 0,05 − log 5

Jawab

7log 217 − 7log 31 = 7log (217/31) = 7log 7 = 1log 0,05 − log 5 = log (0,05/5) = log 0,01 = −2

#Sifat 3 (Perpangkatan Logaritma)

alog bn = n × alog b

Pembuktian sifat 3 logaritma

Dari sifat 1 logaritma,

alog b + alog b = alog (b × b)

2 alog b = alog b2

Dengan cara yang sama:

alog b2 + alog b = alog (b2 × b)

2 alog b + alog b = alog b3

3 alog b = alog b3

Dengan cara yang sama:

alog b3 + alog b = alog (b3 × b)

3 alog b + alog b = alog b4

4 alog b = alog b4

Dengan demikian dapat disimpulkan:

n alog b = alog bn

atau

alog bn = n × alog b

Contoh Soal

Sederhanakanlah:

2 log 25 – 3 log 5 + log 20½ 2log 82 – 3 2log 3 + 2log 48

Jawab

2 log 25 – 3 log 5 + log 20

= log 252 –